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METODO CARDANO.

fue un médico, además de un matemático italiano del Renacimiento, astrólogo y un estudioso del azar. y un estudioso del azar. Este filósofo y enciclopedista fue autor de una de las primeras autobiografías modernas.​ También es conocido por ser el primero en publicar una solución general completa de la ecuación de tercer grado y de la ecuación de cuarto grado, y por sus aportaciones a la mecánicaNacido en Pavía, Italia, Gerolamo Cardano era hijo ilegítimo de Fazio Cardano, un abogado con talento para las matemáticas que fue amigo de Leonardo Da Vinci. En 1520, ingresó en la Universidad de Pavía y estudió medicina en Padua consiguiendo excelentes calificaciones. Finalmente, obtuvo una considerable reputación como médico en Saccolongo (cerca de Padua) y sus servicios fueron altamente valorados en distintas cortes (atendió al Papa y al arzobispo escocés de St. Andrews).

La ecuación general de tercer grado

${\displaystyle Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0}$

con números reales , y ${\displaystyle A\neq 0}$, se puede convertir en la forma normal dividiendo por ${\displaystyle A}$ y acomodando términos, con lo que queda:

${\displaystyle x^{3}+ax^{2}+bx+c=0}$

Sustituyendo ${\displaystyle x=z-{\tfrac {a}{3}}}$ se elimina de la forma normal el término cuadrático y se obtiene la forma reducida:

${\displaystyle z^{3}+pz+q=0,}$

en la que

${\displaystyle p=b-{\frac {a^{2}}{3}}}$   y   ${\displaystyle q={\frac {2a^{3}}{27}}-{\frac {ab}{3}}+c.}$

La fórmula reducida es la que se utiliza entonces para resolver por el método de Cardano, y deshaciendo la sustitución inicial ${\displaystyle x=z-{\tfrac {a}{3}}}$, las soluciones de la ecuación original.

Resolución

Partiendo de la ecuación

${\displaystyle z^{3}+pz+q=0\,}$

se realiza una sustitución del tipo ${\displaystyle z=u+v}$.Entonces

${\displaystyle z^{3}=\left(u+v\right)^{3}=u^{3}+3uv\left(u+v\right)+v^{3}=3uvz+u^{3}+v^{3}.}$

Para hacer la equivalencia de coeficientes con la ecuación de partida, se toman estos como:

${\displaystyle {\begin{cases}-p=3uv\\-q=u^{3}+v^{3}\end{cases}}}$

que también es equivalente al sistema de ecuaciones

${\displaystyle u^{3}+v^{3}=-q}$

y

${\displaystyle u^{3}\cdot v^{3}=-\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}$.

Llegado a este punto y utilizando las fórmulas de Viète, ${\displaystyle u^{3}}$ y ${\displaystyle v^{3}}$ son las soluciones de la ecuación de segundo grado

${\displaystyle z^{2}+qz-{\frac {p^{3}}{27}}=0.}$

De esta manera, se calcula el discriminante ${\displaystyle \Delta =q^{2}+{\frac {4}{27}}p^{3}\,}$ y se estudia su signo. Dependiendo de si es positivo, negativo o cero se obtendrán unas soluciones u otras.

Si Δ es positivo

La ecuación posee entonces una solución real y dos complejas. Si se establece que

${\displaystyle u={\sqrt[{3}]{\frac {-q+{\sqrt {\Delta }}}{2}}}\quad {\mbox{y}}\quad v={\sqrt[{3}]{\frac {-q-{\sqrt {\Delta }}}{2}}}.}$

La única solución real es entonces ${\displaystyle z_{0}=u+v\,}$ (recordemos que hay que deshacer el cambio de variable). Además, existen dos soluciones complejas conjugadas :

${\displaystyle {\begin{cases}z_{1}=ju+{\bar {j}}v\\z_{2}=j^{2}u+{\overline {j^{2}}}v\end{cases}}\qquad \mathrm {donde} \qquad {\begin{cases}j=-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}=e^{i{\frac {2\pi }{3}}}\\j^{2}=-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}=e^{i{\frac {4\pi }{3}}}\end{cases}}.}$

Si Δ es cero

- Si p es cero, la ecuación posee una única solución real (triple): ${\displaystyle z_{0}=0}$

- Si p no es cero, la ecuación posee entonces dos soluciones reales, una simple y una doble :

${\displaystyle {\begin{cases}z_{0}=2{\sqrt[{3}]{\frac {-q}{2}}}=-2{\sqrt {\frac {-p}{3}}}={\frac {3q}{p}}\\z_{1}=z_{2}=-{\sqrt[{3}]{\frac {-q}{2}}}={\sqrt {\frac {-p}{3}}}={\frac {-3q}{2p}}\end{cases}}}$

Si Δ es negativo

La ecuación posee entonces tres soluciones reales. Sin embargo, es necesario hacer una incursión en los números complejos para encontrar todas las soluciones. Las soluciones son la suma de dos complejos conjugados ${\displaystyle j^{k}u\,}$ y ${\displaystyle {\overline {j^{k}u}}}$ donde ^{${\displaystyle u={\sqrt[{3}]{\frac {-q+i{\sqrt {|\Delta |}}}{2}}}}$} y ${\displaystyle k\in \{0,1,2\}\,}$; es el siguiente conjunto :

${\displaystyle {\begin{cases}z_{0}=u+{\bar {u}}\\z_{1}=ju+{\overline {ju}}\\z_{2}=j^{2}u+{\overline {j^{2}u}}\end{cases}}}$

La forma real de las soluciones se obtiene escribiendo ${\displaystyle j^{k}u}$ en forma trigonométrica, obteniéndose :

${\displaystyle z_{k}=2{\sqrt {\frac {-p}{3}}}\cos {\left({\frac {1}{3}}\arccos {\left({\frac {-q}{2}}{\sqrt {\frac {27}{-p^{3}}}}\right)}+{\frac {2k\pi }{3}}\right)}\qquad {\mbox{ con }}\qquad k\in \{0,1,2\}.}$

El método de Cardano sirve para resolver cualquier ecuación cúbica que se presente en cualquier área de las ciencias como, por ejemplo, para resolver las ecuaciones cúbicas de estado que aparecen en la termodinámica y la fisicoquímica, donde las tres raíces son válidas matemáticamente, pero sólo dos de ellas son válidas físicamente, pues la de menor magnitud, si es que se ha desarrollado la ecuación cúbica en el volumen molar, representa el volumen molar de líquido, mientras que la mayor representa el volumen molar de vapor y la raíz intermedia en magnitud no tiene significado físico. Las mismas interpretaciones se hacen si las ecuaciones se desarrollan cúbicas en el factor de compresibilidad, denotado como Z.